Tryk på “Enter” for at springe til indhold
-

Vækst: Når tallene vokser

Vækst er en del af vores hverdag. Der er vækst både i den fysiske og biologiske verden, og i den politiske og samfundsmæssige debat tales der ofte om vækst. Betydningen af vækst er derfor helt afgørende for forståelsen af vores omverden.  I matematik taler man om forskellige typer for vækst. De to enkleste former for vækst er henholdsvis lineær og eksponentiel vækst. Det er to meget forskellige typer for vækst, hvilket følgende eksempel illustrerer. Som bekendt er er 64 felter på et skakbræt. Forestil dig nu, at du har et flot skakbræt, som du vil sælge. Du får to tilbud, hvor prisen i begge tilfælde udregnes ved 64 trin, svarende til antallet af felter på skakbrættet. Det første tilbud går ud på, at prisen beregnes ved at der på første felt lægges en krone, på næste to kroner, det næste tre kroner og sådan fortsættes der. Altså hver gang vi går til et nyt felt lægges der en krone til. Prisen er så det beløb, der er på skakbrættets sidste felt. Det andet tilbud går ud på, at der igen lægges en krone på første felt, to kroner på andet felt, fire kroner på tredje felt og sådan fortsættes der ved fordoble beløbet, hver gang vi går til et nyt felt. Igen er prisen det beløb, der på skakbrættets sidste felt. Der er nok ingen tvivl om, at du skal vælge den sidste beregning af prisen. Faktisk er forskellen enorm. Ved første beregning bliver prisen 64 kroner, mens den i andet tilfælde er prisen omkring 18000000000000000000 kroner – regn selv efter! Den første beregning er et eksempel på lineær eller aritmetisk vækst, hvor noget vokser ved, at der lægges en bestemt værdi (i dette tilfælde en) til i hvert trin. Den anden beregning er et eksempel på eksponentiel eller geometrisk vækst, hvor noget vokser ved at der ganges med en bestemt værdi (i dette tilfælde to) i hvert trin.

Allerede i 1798 var en engelske demograf og økonom Thomas Robert Malthus (1766-1834) opmærksom på den store forskel på de to former for vækst, da han i bogen ’An Essay on the Principle of Population’ fremsatte en teori om, at befolkningen vil vokse eksponentielt, mens fødevareforsyningen kun vil vokse lineært. Ifølge Malthus vil befolkningen altså vokse hurtigere en fødevareforsyningen. Han anbefalede derfor at reducere fødselsraten ved at udsætte ægteskabsindgåelsen. Det var dog et tiltag, Malthus frygtede kunne give negative effekter i form af udenomsægteskabelig sex. Nu gik det ikke, som Malthus forudsagde, men flere økonomer og biologen Charles Darwins blev inspireret af Malthus tænkning. Og Malthus skal krediteres for at have sat fokus på menneskets forhold til jordens knappe ressourcer, der kun er blevet skærpet i lyset af klimakatastrofen.

Thomas Robert Malthus. Mezzotint af John Linnell, 1834. Credit: Wellcome Collection. CC BY

Det er ikke vanskeligt at finde eksempler på eksponentiel vækst. Udtrykket renters rente er et godt eksempel på eksponentiel vækst. Nu er renten ikke så høj i dag, men kunne en attenårig sætte et beløb på 3000 kroner til side til en fast årlig forrentning på 4 %, vil hun have 21.000 kroner, når hun bliver 68 år. Venter hun med at indsætte beløbet til hun er 30 år, vil hun kun have 13.000 kroner på sin 68 års fødselsdag. Antallet af transistorer der kan være i en elektronisk chip er andet eksempel. Over de sidste par tiår er dette tal fordoblet cirka hver attende måned, et fænomen der kaldes Moores lov. Denne effekt af eksponentiel vækst forklarer, hvorfor vi på omkring 25 år er gået fra kæmpestore computere til smartphones. Spredning af virus er også et eksempel på eksponentiel vækst. En smittet person overfører smitten til nogle få personer, som så hver især overfører smitten til nogle få personer, indtil vi pludselig har en epidemi. For eksempel var der i forbindelse med det seneste Ebola udbrud en fordobling af smittede hver gang, der var gået et par uger.

Ifølge den nu afdøde professor i fysik ved University of Colorado Albert Bartlett er menneskets største fejl dets manglende evne til at forstå eksponentiel vækst. Albert Bartlett blev kendt fra YouTube for sine film om matematiske emner. Du kan få mere at vide om eksponentiel vækst ved at se på denne video:

https://www.youtube.com/watch?v=kZA9Hnp3aV4

Lær mere om Malthus:

An Essay on the Principle of Population af Thomas Robert Malthus: https://www.econlib.org/library/Malthus/malPop.html 

The man we love to hate: it’s time to reappraise Thomas Robert Malthus – Cambridge University: https://www.cam.ac.uk/research/news/the-man-we-love-to-hate-its-time-to-reappraise-thomas-robert-malthus

Element kann nicht ohne Cookies angezeigt werden | Element kan ikke vises uden accept af cookies

Start debatten med en kommentar

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *