Denne artikel er en uddybning af nogle af de emner, der nævnes i artiklen ”Matematiske sæbebobler”. Artiklen ”Matematiske sæbebobler” fortæller fx om de fire matematiske regler, som sæbehinder og sæbebobler følger. Reglerne blev formuleret af den belgiske fysiker Joseph Plateau (1801-1883). Artiklen fortæller også om, hvilke ”fodspor” sæbebobler laver, når man blæser dem på en plan flade, som fx et bord.
Her vises de to ”sæbeboblefodspor”, som henholdsvis 3 og 4 bobler i ens størrelse med fælles sæbevægge laver på en plan flade:
Sæbehinder søger altid at minimere deres overflade (læs mere i første artikel) og derfor grupperer de sig som fodsporene på tegningerne oven for. Ved at have fælles sæbevægge får de samlet set en mindre overflade.
Prøv selv efter om du får de samme fodspor som ovenfor. Husk, at det er nemmest at blæse boblerne, hvis bordet er gjort fugtigt med let opvredet klud.
Det bedste redskab til at blæse boblerne er et sugerør. Det kan være svært at styre boblerne, når de blæses med den lille ring, der ofte følger med, når man køber en lille bøtte med sæbeboblevand. Du kan finde hjælp til både opskrift på hjemmelavet sæbeboblevand og hjemmelavede bobleredskaber på www.soapbubble.dk.
Denne artikel dykker ned i det specielle tilfælde, hvor to bobler på en plan flade har en fælles væg. I modsætning til den første artikel skal vi her også se på hvordan der ser ud, når de to bobler ikke har samme størrelse.
Men først, sådan ser fodsporet ud, hvis de to bobler har samme størrelse, altså at der er brugt den samme volumen luft til at blæse hver af de to bobler:
Prøv selv, at blæse to bobler i ens størrelse på et bord. Kig særligt på den fælles sæbevæg og vinklen, der hvor de to bobler mødes.
Når vi kigger på tegningen af de to boblers fodspor ovenfor, kan vi se, at boblerne følger Plateaus tredje regel; at sæbehinder altid mødes i en vinkel på 120° (markeret med de blå vinkler). Kan du også se det på de to bobler du har blæst?
En anden ting vi kan observere er, at fodsporet af den fælles væg mellem boblerne er en lige streg uden krumning. Eller som en matematiker vil sige; den har en krumning på nul. Passer det også med dine bobler?
At den fælles væg ikke har nogen krumning gælder kun i dette særlige tilfælde, hvor de to bobler har samme størrelse. Hvis boblerne har forskellig størrelse er der ikke det samme lufttryk inde i boblerne. Og når lufttrykket inde i boblerne ikke er ens vil boblen med det høje lufttryk bule ind i boblen med det lavere lufttryk.
Lufttrykket inde i en boble afhænger overordnet set af tre ting; lufttrykket i omgivelserne, hvor stor overfladespændingen er og krumningen på sæbehinden. Vi er her kun interesseret i forskellen i tryk mellem boblerne, så vi kan se bort fra det omgivende lufttryk. Overfladespændingen afhænger kun af det sæbeboblevand du bruger og er derfor konstant i alle sæbehinderne. Så i vores tilfælde her er det krumningen på boblerne, der afgør om de har samme indre lufttryk. Og krumningen af den enkelte boble afhænger hvor stor den enkelte boble er. Jo større en boble er jo mindre er krumningen.
Lufttrykket inde i boblen opstår på grund af overfladespændingen i sæbehinden. Overfladespændingen gør at boblerne søger den mindst mulige overflade, altså at de trækker sig sammen. Når en boble søger at trække sig sammen bliver luften inde i boblen trykket sammen, derved skabes det indre lufttryk. Hvor stor forskel der er i lufttrykket mellem boblerne afhænger som forklaret ovenfor af boblens størrelse. Små bobler har stor krumning og derfor et relativt højt indre lufttryk, mens en stor boble har en lille krumning og derfor et mindre indre lufttryk end den lille boble.
En lille observation du kan gøre dig: Blæs sæbebobler som svæver frit, pust på boblerne. Små bobler holder kugleformen, større bobler kan man godt få til at ændre form, men når boblerne kommer væk fra den kraftige luftstrøm, så bliver de igen kuglerunde.
Hvis du laver rigtig store bobler, så har overfladespændingen svært ved at holde sammen på den megen luft inde i boblen. Og selv den mindste bevægelse i luften udenom bliver fanget af det kæmpe sæbeboblesejl.
Det kan ses af grafen her, at rumfanget stiger mere end overfladen, når radius af en kugle øges. Populært sagt kan man sige, at overfladespændingen i overfladen taber i forhold til at holde luften inde i store bobler i ro.
Bemærk de forskellige størrelser bobler på billedet her. Det er de mindste bobler, der er mest kugleformede.
Tilbage til de to bobler på bordet. Hvad sker der, når boblerne ikke er lige store? Jo, den ene boble buler lidt ind i den anden og som forklaret ovenfor, så er lufttrykket i den mindste boble størst og derfor er det den mindste boble, der buler ind i den anden boble.
Det kunne for eksempel se sådan ud, som på billederne nedenfor. På billedet til højre er de to bobler lige sprunget, men man kan stadig se deres ”fodspor”:
Sådan et boblefodspor skal vi nu konstruere matematisk ved hjælp af passer og vinkelmåler. Vi skal bruge en vinkel på 60 grader. Hvis du ikke kan finde din vinkelmåler, så kan du folde en vinkel på 60 grader af et stykke papir således:
Så er det tid til at konstruere boblefodsporene. Du skal bruge et stykke papir, vinkelmåleren og en passer. Klik frem skridt for skridt i animationen nedenfor og konstruer med undervejs med passer og lineal på dit eget papir.
Animationen er dynamisk, så du kan flytte på de blå punkter. På den måde kan du ændre på placeringen og størrelsen af boblefodsporene, men sørg for, at de tre røde buestykker til sidst er inde på papiret. Det kan også være, at din version på papir bliver for stor til papiret, så prøv igen.
Det kunne ende med at se cirka sådan her ud:
Men passer matematikken og sæbeboblerne sammen? Det skal testes!
Put dit konstruerede boblefodspor ind i en klar plastikposer, fx en frysepose. Fugt ydersiden af posen, så du kan blæse bobler oven på.
Kan du ved at tilpasse størrelsen få de to bobler til at passe oven på de fodspor du har tegnet? Hold særligt øje med boblernes fælles sæbevæg.
Der gælder en sammenhæng mellem krumningerne på de to bobler og den fælles væg. Krumningen på den store boble plus krumningen af den fælles væg er lig med krumningen af den lille boble. Dette er vist i denne konstruktion: https://www.geogebra.org/m/n5KbBNpT
Du har nu matematisk konstrueret et boblefodspor af to sæbebobler på en plan flade og efterprøvet, at sæbeboblerne faktisk opfører sig som matematikken og Plateaus fire regler (se første artikel) forudsiger.
Vi håber, at du fremover ikke blot vil nyde sæbebobler for deres æstetiske flotte former og farver, men også for deres matematiske egenskaber. Du opfordres til selv at eksperimentere videre med bobleformer og skulpturer. Fx kan du forsøge at konstruere nogle af de platoniske legemer, måske med inspiration fra videoen på denne side. Videoen er egentlig en intro til et matematikkursus, men den fortælle kort om de platoniske legemer og i den sidste halvdel kommer sæbeboblerne med.
Lidt mere om krumning
Krumningen af en plan kurve i et punkt er et tal, der fremkommer ved at man ”måler”, hvor stor en cirkel, der er ”plads til” i punktet. Krumningen er så en divideret med radius af denne cirkel. Krumning for plane kurver regnes med fortegn, så hvis krumningen i punktet P er positiv, så er krumningen i punktet Q negativ. Ser vi bort fra fortegnet, så er krumningen i punktet P mindre end i punktet Q, for radius på cirklen i punktet P er større end radius af cirklen i punktet Q. En ret linje har krumning nul, for her er plads til en uendelig stor cirkel. 
Billedet er fra: https://www.matematiksider.dk/soapbubbles.html
Er du blevet mere interesseret i matematik og sæbebobler er der her forslag til videre læsning: https://www.matematiksider.dk/soapbubbles.html – se litteraturlisten nederst på siden. Særligt vil vi fremhæve disse to bøger
- Soap Bubbles – Their colours and the forces which mold them af C. V. Boys som kan læses på engelsk her, men er oversat til både dansk og tysk
- The Science of Soap Films and Soap Bubbles af Cyril Isenberg (findes kun på engelsk)
Start debatten med en kommentar