Tryk på “Enter” for at springe til indhold
-

Valgets matematik

Genforeningen af Sønderjylland med Danmark i 1920 var et resultat af en folkeafstemning, der blev gennemfør i det daværende Slesvig. Inden det blev afgjort, hvordan afstemningen skulle gennemføres, havde der været en til tider ophedet debat mellem de involverede parter om, hvordan afstemningen skulle gennemføres. Striden handlede først og fremmest om, hvem der skulle overvåge og have ansvaret for afstemningen, hvem der havde stemmeret til folkeafstemningen, og hvordan afstemningsområdet skulle inddeles. En international kommission afgjorde stridspunkterne, herunder inddeling af afstemningsområdet i zoner, hvor den grænsen mellem de såkaldte 1. og 2. zone fulgte den nuværende grænse. Grænsen mellem de to zoner have været et af de helt store stridspunkter. Specielt Afstemningen i 1920 blev i øvrigt efterfulgt af en række internationalt overvågede folkeafstemninger, der ændrede grænserne: Allenstein og Marienwerder i juli 1920, Kärntern i oktober 1920, Øvre Schlesien i marts 1921, Burgenland i december 1921 og Saar i januar 1935.

Valgmetoder

I en ideal verden vil ethvert valg opfylde to ting: de skal være frit og fair. Enhver voksen borger skal frit have mulighed for at vælge et parti eller en kandidat, og hver enkelt stemme skal have samme værdi. Sikring af et frit valg er en sag for lovgivningen og dermed et juridisk problem. Hvad så med sikring af et fair valg? Matematikere har siden den franske revolution i slutningen af 1700-tallet beskæftiget sig systematisk med valg og valgmetodens betydning for udfaldet et valg. Matematikerne er stødt på mange paradokser og overraskelser. Allerede i 1785 bemærkede den franske matematiker Marquis de Condorect (1743-1794) et paradoks i valgmetoden baseret på, at vælgerne prioriterer kandidaterne, hvorefter kandidaten med den laveste score elimineres. Herefter gentages processen indtil en af kandidaterne støttes af mere end halvdelen af vælgerne. Denne metode anvendes bl.a. i repræsentanternes hus i Australien, i flere byer i USA og ved valg af præsidenter i Irland og Indien.  Marquis de Condorect noterede, at hvis vi fx har tre kandidater A, B og C og tre vælgere, der prioriterer kandidaterne henholdsvis A-B-C, B-C-A og C-A-B. Her foretrækker vælgerne A for B med to til en. Men de foretrækker også B for C med to til en, og C for A med to til en. Så selvom metoden virker fair, så er den ikke uden paradokser.

I bl.a. USA og United Kingdom anvender man den såkaldte flertalsvalgmetode, hvor valgområdet er opdelt i enkeltmandskredse, hvor der kun kræves et simpelt flertal for at blive valgt. Denne metode har to store fordele. For det første giver den et klart resultat og fører ofte til en flertalsregering. For det andet knytter det klart vælgerne til deres valgte repræsentant. Det er dog let ved hjælp af et simpelt eksempel at se denne metodes mangler. Forestil dig, at vi har tre valgkredse med henholdsvis 10.000, 3 og 5 vælgere og to partier A og B. I den første valgkreds stemmer alle for A. I de andre to stemmer alle for B. Således får parti A en plads og 10.000 stemmer, hvorimod B får to pladser og 8 stemmer. Parti B vinder valget, selvom det fik langt færre stemmer end parti A. Dette problem opstår også i praksis. Ved det amerikanske præsidentvalg fik Donald Trump og republikanerne 304 valgstemmer og 46,1% af stemmerne, mens Hilary Clinton og demokraterne fik 227 valgstemmer og 48,2% af stemmerne. På dette grundlag vandt Donald Trump præsidentvalget.

Umiddelbart vil den mest fair valgmetode være, at de opstillede kandidater eller partier tildeles pladser i forhold til deres stemmetal, hvilket kaldes proportional repræsentation eller forholdstalsvalg. Men heller ikke denne metode er uden paradokser. Antallet af pladser i et parlament e.lign. kan jo kun være et heltal, men den enkelte kandidat eller det enkelte parti vil typisk vil have en procentvis del af stemmerne, der er et decimaltal. For eksempel, hvis der er ti mandater på valg, og hvert af tre partier får en tredjedel af stemmerne, ville det bedste, vi kunne gøre, være at opdele pladserne som 3, 3, 4. Men hvorfor skulle det ene parti få mere end de andre? Et andet problem er, at nogle partier eller lande ikke får nogen repræsentation overhovedet. Fx skal et parti Danmark normalt have mindst 2 % af de afgivne stemmer for at få tildelt mandater i Folketinget, og et parti i Tyskland skal mindst 5 % af de afgivne stemmer for at blive repræsenteret i Forbundsdagen.  Ved valget til Europa parlamentet kan proportional repræsentation betyde, at et land ikke bliver repræsenteret. Dette undgås ved at give hvert land et fast antal pladser i parlamentet, hvilket bryder idealet om ren proportionalitet.

Der findes en række metoder til at overvinde de udfordringer proportional repræsentation giver. De mest anvendte metoder er D’Hondt-metoden, der er opkaldt efter den belgiske jurist Victor D’Hondt (1801-1901), og Webster/Sainte-Laguë-metoden, der opkaldt efter den amerikanske senator Daniel Webster (1782-1852) og den franske matematiker André Sainte-Laguë (1882-1950). Ved begge metoder divideres hver af partiernes stemmetal med en række divisorer, hvorved fremkommer en række kvotienter. Det parti, der har den største af de fremkomne kvotienter, får det første mandat. Den næststørste kvotient giver ret til det andet mandat og så fremdeles, indtil alle mandater er fordelt. Forskellen i de to metoder består i, at der anvendes forskellige divisorer. I D’Hondt-metoden divideres der med 1, 2, 3, 4, 5, osv., mens der i Webster/Sainte-Laguë-metoden divideres med 1, 3, 5, 7, 9 osv. D’Hondt-metoden favoriserer store partier, mens der ved Webster/Sainte-Laguë-metoden er en risiko for, at et parti, der har opnået over halvdelen af stemmerne, ikke opnår over halvdelen af det samlede antal mandater.

Valg i Danmark og Tyskland

I Danmark skal der ved folketingsvalg vælges 179 medlemmer til Folketinget, hvoraf 175 vælges i Danmark to på Grønland og to på Færøerne. De 175 medlemmer, der vælges i Danmark, er fordelt på 135 såkaldte kredsmandater og 40 såkaldte tillægsmandater. Kredsmandaterne fordeles ved hjælp af D’Hondt-metoden. Når fordelingen af kredsmandater er gennemført, beregnes det på landsplan, hvor mange mandater partierne er berettigede til. Den beregning er grundlaget for fordeling af de 40 tillægsmandater, der fordeles ved hjælp af Webster/Sainte-Laguë-metoden. På den måde er valgsystemet i Danmark meget tæt på at være et ”ægte” forholdstalsvalg. I Tyskland anvendes Webster/Sainte-Laguë-metoden ved valg til Forbundsdagen og til landdagene i Baden-Württemberg, Bremen, Hamburg, Nordrhein-Westphalen Rheinland-Pfalz og Schleswig-Holstein. Hver vælger har to stemmer, én på en kandidat og én på et parti. Den ene stemme gives altså som en personlig stemme direkte til en af de kandidater, der er opstillet i den enkeltmandskreds, hvor den pågældende vælger bor.  Denne stemme har betydning for, hvilke kandidater/partier, der opnår kredsmandater. Den anden stemme gives som en partistemme til et parti, der er opstillet i den delstat, hvor den pågældende vælger bor. Det tyske valgsystem er således en blanding af det britiske med direkte valg i enkeltmandskredse og forholdstalsvalg som i Danmark.

Arrows umulighedsteorem

Kenneth Arrow picture
Kenneth Arrow, Stanford University – Linda A. Cicero / Stanford News Service / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

Selvom mange matematikere beskæftigede sig med valgmetoder, var det først efter 2. Verdenskrig, at der kom en mere teoretisk tilgang til emnet. Specielt har den amerikanske økonom Kenneth Arrow (1921-2017) bidraget til at udvikle valgmetodernes matematik. Allerede i 1951 forsøgte Arrow at identificere en valgmetode, der er inden for rammerne af nogle fornuftige og rimelige kriterier kan betegnes som ”fair”. Det var imidlertid en vanskelig opgave. Arrow måtte indse, at uanset hvad han gjorde, så kunne han ikke finde en metode, der opfyldte kriterierne. I 1963 fremsatte Arrow sit umulighedsteorem, der er et vigtigt resultat inden for teorien om sociale valg. Det handler om, at når vælgere kan vælge mellem mindst tre forskellige muligheder, findes der ikke nogen valgmetode, som kan sikre en logisk afgørelse og samtidig opfylder nogle bestemte rimelige kriterier. Arrows umulighedsteorem anses for det vigtigste resultat inden for forskning i valgmetoder og har efterfølgende inspireret økonomener, sociologer og matematikere til at udforske og udvikle teorier for valg. Umulighedsteoremet bidrog til, at Kennet Arrow i 1972 modtog Nobelprisen i økonomi.

Hvis du gerne vil vide mere om valgets matematik, så kan du anvende dette link til en af professor i anvendt matematik ved universitet i Bath i England Chris Budds såkaldte Gresham College forelæsninger på YouTube:

https://plus.maths.org/content/elections-how-do-they-work

Start debatten med en kommentar

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *