Fødder – en måleenhed

Vi har tidligere beskæftiget os med den tyske fodboldlegende Uwe Seelers fod og prøvet at kaste et lys på forholdet mellem skostørrelse og fodvolumen. Fod kan dog også være en længdeenhed, og I har måske oplevet, at jeres matematiklærer har sagt noget i stil med ”hvor mange hvad?”, når I havde glemt enhederne i jeres udregninger.

Vi kan således bruge en kendt enhed til at beskrive og beregne størrelsen på længder, så vi eksempelvis kan beskrive, hvor langt der er fra byen Birkerød til København, hvor stor en computerskærm er eller målene på et bestilt produkt. I langt de fleste europæiske lande benytter vi SI-enheder (Système International d’Unités, e.g. det metriske system), hvor enhederne, såsom meter, kg og ampere, er defineret ud fra konstanter. I de fleste engelsktalende lande bruger man dog ofte imperial standard, hvor vi finder enhederne fod og yard, der er baseret på en blanding af antropiske enheder – baseret på det menneskelige legeme – og fraktioner af 12 mod meterens 10 – eksempelvis går der 12 linjer på en tomme og 12 tommer (”) på en fod og tre fod (’) på en yard (yd). Hvis vi sammenligner med SI-enheden meter ser systemerne sådan her ud:

Enhed (SI)
1 meter = 10 dm (1·10) = 100 cm (1·10·10) = 1000 mm (1·10·10·10)

Enhed (Imperial)
1 yard = 3 fod (1·3) = 36 inch (1·3·12) = 432 linjer (1·3·12·12)

For en visuelt indblik kan du evt. se denne illustration fra Math-Salamanders.

Antropiske enheder

Mennesket som basis for enheder er historisk set meget udbredt – det var jo lige ved hånden. Der findes utallige eksempler af disse enheder, såsom hænder, fødder, underarme (alen) og bredden af en finger (tommer). Historisk set foretrak egypterne alen, hvorimod grækerne og romerne primært brugte fødder. Der har dog altid været stor variation på enhederne, som besværliggjorde handlen mellem lande og sågar landsdele. Således kunne man på tværs af Europa i 1800-tallet støde på et væld af forskellige fødder – en dansk fod på 0,314 m, en hamborgsk fod på 0,287 m, en badensk fod på 0,300 m eller en portugisisk fod på 0,329 m (for flere fødder se her. Har danskere mon større fødder end tyskere?

De antropiske enheder er baseret på skalaer ud fra mennesket, og forskellige lande har haft forskellige interesser (læs personer) for, hvem der skulle være målestok for enhederne. Det har resulteret i stor variation fra land til land. I Sverige var den svenske fod eksempelvis baseret på ½ alen (længden af underarm, bestemt af Kong Carl IX i 1665). Men her har vi yderligere komplikationer, da man i 1737 lavede en forordning om, at de svenske enheder skulle gå fra at være 12-fraktionsbaseret til at være decimalbaseret, hvilke vil sige, at man gik fra at dele i 12 til 10 (som i det metriske system):

Reelt set blev denne ændring dog først indført i 1855 og i 1879 overgik Sverige – over en 10-årig periode – til det metriske system. Selvom Sverige er overgået til SI-enheder, så skal det dog bemærkes, at man stadigvæk bruger mil og en svensk mil er fastsat til at være 10 km.

Disse måleenheder tager ofte udgangspunkt i historie og kultur, samt ud fra de interesser fra magthaverne kunne have. Det vil sige at enhedssystemer ofte blevet brugt politisk til at samle folk og styre handel:

”Siden oldtiden har handel været reguleret gennem de måleenheder, som benyttedes. Tidligere fastlagde regenterne enhederne lokalt, hvorved handelen blev tvunget til at følge de politiske grænser. Ofte blev enhederne dannet ud fra naturlige mål som fod og håndsbredde, enten ud fra en del af befolkningen eller af den regerende monark.”

Den Store Danske

Hvor man i Sverige knyttede sig tætter på det metriske system i 1855, knyttede man i Rusland, under Peter den Store, deres enheder til den engelsk fod.

Den engelsk fod

I dag er den eneste dominerende fod den imperial standard (engelsk fod), der siden 1959 er baseret på meter, og bruges i USA og commonwealth lande (såsom Storbritannien). Den engelsk fod er fastlagt til at være præcis 0,3048 meter og blev fastlagt for at gøre handel mellem lande nemmere. Den er sat ud fra, at en yard er sat til 0,9144 m og en yard er tre fod:

Selvom dette skema er sandt, så er der stadig variationer i nogle lande. I USA var den tidligere fod sat til præcis 1200/3937 meter, hvilket giver 1 fod ≈ 0,3048006 m og ændringen af yarden (og dermed fod og mil) betød, at tidligere opmålinger ville være forkerte. For at undgå dette indsatte man en undtagelse, der gør at USA arbejder med to fødder, en international engelsk fod og en såkaldt ’survey’ fod. Sidst nævnte fod står til at blive udfaset i 2022. Selvom forskellen på de to er meget lille, så kan den på store afstande især have en indvirkning. Eksempelvis hvis du skal på roadtrip fra New York til Los Angeles, så er der ifølge Google Maps 4489 km:

International fod: 4489000 meter·0,3048 = 1368247,2 fod = 456.082,4 yd
US Survey fod: 4489000 meter·(1200/3937) ≈ 1368249,9 fod ≈ 456.083,3 yd

To ting springer I øjnene, det første er, at forskellen er lille, og at konvertering til US Survey fod giver approksimationer og ikke eksakte enheder. Det sidste kan resultere i yderligere afrundingsfejl, såfremt man konvertere frem og tilbage imellem dem. Der er også lavet en lille youtube film omkring problematikken her:

Derudover vil vi anbefale dig at læse om NASAs regnefejl der skete ved konvertering mellem imperial og metriske enheder. Det endte med at koste NASA en Marssonde til $125 mio:

Mars Probe Lost Due to Simple Math Error

NASA criticised for sticking to imperial units

eller Mars Climate Orbiter (wikipedia)

Den danske mil

Hvorfor skal vi vide hvor langt der er fra Birkerød – en by nord for den danske hovedstad – til København? Det er måske heller ikke så vigtigt for dig, men noget interessant er stationsbygningen i Birkerød, som en del af bygningen kan man se, hvor langt der er til København – dog anført i mil:

Der er ifølge bygningen 3 mil til København, men hvor langt er det? En engelsk mil er 1609 meter, dermed må svaret være 3 x 1609 m = 4827 m ≈ 4,8 km. Så Birkerød er tæt på København, men hvad nu hvis det er en svensk mil, som nævnt ovenfor den på 10 km, så er Birkerød lige pludselig rykkes 25 km længere fra København. Ingen af de to svar er korrekte, da der ifølge Google Maps er 23,3 km (korteste rute fra Birkerød station til Københavns rådhusplads). Målet på stationen er opgivet i danske mil, hvor en dansk mil svarer til 7532,48 m, hvilket giver

22597,44 m ≈ 22,6 km

Danmark indførte det metriske system i 1907 og Birkerød station blev opført i 1864. En mil, en fod, en alen og alle de andre enheder varierede meget fra område til område, hvilket SI-enhederne har været med til at gøre op med ved at fastlægge en standard, der i princippet bliver brugt på tværs af alle lande, og gør os i stand til lettere at kommunikere og handle med hinanden.

Læs mere om fødder, som enhed:

https://en.wikipedia.org/wiki/Foot_(unit)

https://da.wikipedia.org/wiki/Mil

https://da.wikipedia.org/wiki/Rhinlandsk_fod (DA)

http://www.spasslernen.de/geschichte/groessen/mas4.htm (DE)

https://da.wikipedia.org/wiki/Alen

https://da.wikipedia.org/wiki/SI-systemet

http://www.doukhobor.org/Terms-Weights.html

http://www.hhogman.se/old-units-of-measurement-sweden.htm#xl_Linear_Measure

https://sonesgarden.se/Gamla_matt/Gamla_langdmatt.html

http://ncm.gu.se/media/namnaren/pdf/2012/nr_3/3435_uppslag183.pdf

https://da.wikipedia.org/wiki/Favn