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Butterbrote und Mathematik

Viele Menschen bauen ihren Alltag um eine Struktur herum auf. Verschiedene Strukturen helfen ihnen, das Leben leichter im Griff zu behalten. Dabei kann es um das Anfertigen von Merkzetteln oder auch das Denken in Kästen gehen, mit dem man verhindert, dass verschiedene Situationen verwechselt werden. In der Mathematik arbeitet man mit dem Begriff der Kombinatorik, der als Rahmen für Strukturen fungiert. Dabei geht es ganz einfach um Zusammensetzungen. Man betrachtet, auf wie viele Arten man Objekte zusammensetzen kann und wie viele Möglichkeiten es gibt. Die große Frage dabei ist, ob die Reihenfolge, in der man die Objekte auswählt, eine Rolle spielt. Diese Frage greift die Kombinatorik auf. Wenn man in ein Restaurant geht und ein Drei-Gänge-Menü bestellen möchte, bekommt man eine Speisekarte, in der eine bestimmte Anzahl an Vorspeisen, Hauptspeisen und Desserts steht. In diesem Fall lässt sich leicht bestimmen, wie viele mögliche Zusammensetzungen es gibt. Das geschieht folgendermaßen:

[Anzahl der Vorspeisen] · [Anzahl der Hauptgerichte] · [Antal af deserter]
=
[Anzahl der Desserts]

Nicht alle Situationen sind derart einfach gestaltet. Deshalb werden verschiedene Situationen beschrieben, um die Problemstellungen anzugehen.

Wenn man sich zum Beispiel ansieht, wie jemand ein Butterbrot zubereitet, beobachtet man im Normalfall, dass ein passender Belag und eine bestimmte Reihenfolge gewählt wird. Bei einem Roastbeefbrot hat man die Reihenfolge Roastbeef, Remoulade und Röstzwiebeln und auf einem Leberpastetenbrot findet sich auf der Leberpastete entweder Gurke oder Rote Bete. Die Gesamtmenge der verschiedenen Butterbrotvarianten wird von einer bestimmten Reihenfolge und Zusammensetzung gesteuert, die durch unsere Erziehung geprägt ist. Das bedeutet, dass man verschiedene Zusammensetzungen zusammenstellen kann, bei denen durch die Reihenfolge die Ordnung zum Tragen kommt. Diese Vorstellung von der Zubereitung eines Butterbrots wurde auf den Kopf gestellt, als der dänische DR-Moderator Sebastian Klein im Jahre 2001 im Kinderprogramm „Anton, mein heimlicher Freund“ mit dem Format „Ein unappetitliches Essen“ in Erscheinung trat, bei dem alle Regeln für Butterbrote gestrichen wurden und man sich sein Brot so zusammenstellen konnte, wie man wollte – ob es nun um Leberpastete, Käse oder Roastbeef ging. Hier war das Brot nicht mehr von einer bestimmten Ordnung gelenkt, sondern nur noch von den gegebenen Möglichkeiten, also der Auswahl.

Der Unterschied zwischen dem Herkömmlichen und dem Experimentellen

Kombination und Permutation

Die zwei Worte „Auswahl“ und „Ordnung“ sind essentiell für die Kombinatorik, denn die Gesamtmenge der Möglichkeiten fällt stets größer aus, wenn die Ordnung für deine Wahl von Bedeutung ist. Die Methode, mit der man die Gesamtmenge der Möglichkeiten ermittelt, ist bei den beiden Situationen unterschiedlich. Deshalb werden sie in Kombinationen und Permutationen unterteilt. Kombination bedeutet dasselbe wie Auswahl – es ist eine Art und Weise, aus einer Gesamtgruppe eine bestimmte Menge auszuwählen, ohne dass man der Reihenfolge eine Bedeutung beimisst. Permutation bedeutet Ordnung und bezeichnet die Zusammensetzungen, bei denen die Reihenfolge für die Auswahl wichtig ist.

Allgemeine Formeln für die Gesamtmenge an Kombinationen und Permutationen

Sehen wir uns nun an, wie man in der Praxis die Gesamtmenge der Möglichkeiten berechnen kann. Nehmen wir ein Beispiel, bei dem man aus neun verschiedenen Fächern eine Kombination von drei Fächern auswählen soll, wobei die Reihenfolge keinerlei Bedeutung hat. Bei der ersten Runde der Wahl hat man neun Möglichkeiten. Bei der zweiten sind es acht verschiedene Möglichkeiten und bei der letzten sieben verschiedene Möglichkeiten. Das führt uns zu folgender Berechnung: 9·8·7=504 Möglichkeiten für Fachkombinationen, wie es auch in dem Beispiel mit dem Drei-Gänge-Menü der Fall war. So kommen wir auf ziemlich viele Möglichkeiten, aber unterscheiden sich diese denn auch wirklich alle voneinander? Nein, das tun sie nicht, wie wir schnell feststellen: Die Kombination aus Französisch, Deutsch und Englisch ist dieselbe wie die aus Deutsch, Französisch und Englisch, da wir ja festgelegt haben, dass die Reihenfolge nicht von Bedeutung sein soll. Deshalb müssen wir alle Wiederholungen entfernen, die in den 504 Möglichkeiten stecken. Dies ist machbar, indem wir bestimmen, wie oft eine einzelne Möglichkeit wiederholt wird. Wie oft können wir die drei Möglichkeiten untereinander austauschen? Das erste Fach kann in drei verschiedenen Möglichkeiten auftreten. Wenn man eine von ihnen wählt, gibt es zwei Möglichkeiten für Fach Nummer Zwei und wiederum eine Möglichkeit für Fach Nummer Drei, woraus sich Folgendes ergibt: 3·2·1=6. Diese Kombination taucht in den 504 Möglichkeiten also sechs Mal auf. Das führt uns zu folgender Berechnung: (9·8·7)/(3·2·1)=84. Es gibt also 84 verschiedene Möglichkeiten, wenn man aus neun unterschiedlichen Fächern eine Kombination von drei Fächern auswählen möchte. Betrachtet man dies etwas allgemeiner, stellen wir fest, dass dies der Gleichung 9!/(3!·6!) entspricht, wobei ! für die Fakultät einer Zahl steht. Um diese zu ermitteln, multipliziert man alle Zahlen unter der gegebenen Zahl und diese Zahl selbst: 9!=1·2·3·4·5·6·7·8·9. Die zwei wichtigen Beobachtungen in diesem Beispiel sind also die Anzahl der verschiedenen Objekte, hier der Fächer, und die Anzahl, die ausgewählt wird. Auf diese Weise kann man die Menge der verschiedenen Möglichkeiten in Situationen bestimmen, in denen richtig viele unterschiedliche Objekte zur Auswahl zur Verfügung stehen.

Wenn die Ordnung für eine Auswahl von Bedeutung ist, beschäftigt man sich mit der Anzahl der Permutationen. Dies ergibt insgesamt eine größere Anzahl an Möglichkeiten. Betrachten wir noch einmal die Anzahl der Möglichkeiten für aus neun Fächern ausgewählte Fachkombinationen, wenn die Reihenfolge wichtig ist. Sie könnte zum Beispiel relevant sein, wenn man seine Zeit aufteilen muss und nicht alle gewählten Fächer gleich behandelt werden. Wie vorher haben wir die folgende Menge an Möglichkeiten: 9·8·7=504. Aber da die Ordnung hier von Bedeutung ist, können wie die Möglichkeiten, bei denen die drei Fächer nur anders angeordnet sind, nicht einfach entfernen. Wir kommen somit auf folgende Gleichung: 9!/6!=504. Es gibt also 504 verschiedene Permutationen. Insgesamt erreichen wir so erheblich mehr Möglichkeiten als in jenen Situationen, in denen die Ordnung nicht weiter wichtig ist.

Werfen wir noch einmal einen Blick auf das Kinderprogramm mit Sebastian Klein. Sein Ziel war wohl kaum, zu zeigen, wie es sich mit der Kombinatorik in der Mathematik verhält. Viel eher ging es ihm wohl darum, mit dem gängigen Butterbrot aufzuräumen und den Kindern zu vermitteln, dass es in Ordnung ist, zu experimentieren und mit dem Essen zu spielen, was viele Eltern dazu brachte, sich bei Danmarks Radio zu beschweren. Sein Zugang zum Wechsel zwischen dem Normalen und dem Experimentellen bietet jedoch einen guten Ansatz, um die Begriffe aus der Welt der Kombinatorik zu verstehen. Die Beispiele, die in diesem Artikel besprochen wurden, haben allesamt gemeinsam, dass man als Ausgangspunkt aus n möglichen verschiedenen Objekten auswählen kann. Es kann nicht in allen Fällen garantiert werden, dass keine gleichen Objekte vorhanden sind. Letztendlich führt das dazu, dass die Formeln, die in diesem Artikel eingesetzt wurden, nicht ausreichend sind, wenn mehrere verschiedene Objekte zur Wahl stehen. Sie eignen sich auch nicht dafür, die Wahrscheinlichkeiten der Kombinatorik zu erfassen, die in diesem Zweig der Mathematik ebenfalls ein großes Thema sind. Der Grund ist ganz einfach der, dass man zunächst das Ergebnis kennen muss, bevor man die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses ermitteln kann. Selbst wenn die Frage, auf wie viele Arten sich eine Reihe von Objekten kombinieren lässt, ganz elementar klingt, steckt in der Antwort also doch jede Menge Wissenschaft.

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